Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝loga（x+2），g（x）＝loga（2﹣x）（a＞0，a≠1）．

（1）求函數(shù)f（x）﹣g（x）的定義域；

（2）判斷f（x）﹣g（x）的奇偶性并證明；

（3）求f（x）﹣g（x）＞0中x取值范圍，

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，2）；（2）奇函數(shù)，見解析（3）見解析．

【解析】

（1）定義域是使得兩個對數(shù)的真數(shù)均為正即可；

（2）根據(jù)奇偶性定義判斷；

（3）按和分類討論．

（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x），

則有，解可得﹣2＜x＜2，

即函數(shù)的定義域為（﹣2，2）；

（2）根據(jù)題意，f（x）﹣g（x）為奇函數(shù)，

設(shè)F（x）＝f（x）﹣g（x），其定義域為（﹣2，2），關(guān)于原點對稱；

且F（﹣x）＝loga（2﹣x）﹣loga（2+x）＝﹣F（x），

故函數(shù)f（x）﹣g（x）為奇函數(shù)，

（3）若f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x）＞0，

即loga（x+2）＞loga（2﹣x），

若a＞1，必有x+2＞2﹣x＞0，解可得：0＜x＜2，

此時x取值范圍為（0，2）；

若0＜a＜1，必有0＜x+2＜2﹣x，解可得：﹣2＜x＜0，

此時x取值范圍為（﹣2，0）；

故當a＞1時，x取值范圍為（0，2）；

當0＜a＜1時，x取值范圍為（﹣2，0）．