Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+ax+b在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為x+y+1=0．
（1）求a，b值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＞x²-9．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程建立方程關(guān)系即可求a，b值以及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值關(guān)系即可證明不等式．

解答 （1）解：f′（x）=e^x+a，
由已知，f′（0）=-1，f（0）=-1，
故a=-2，b=-2，
f′（x）=e^x-2，
當(dāng)x∈（-∞，ln2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln2）單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）單調(diào)遞增；…（6分）
（2）證明：設(shè)g（x）=f（x）-（x²-9）=e^x-x²-2x+7，
g′（x）=e^x-2x-2，
因?yàn)間′（0）=-1＜0，g′（2）=e²-6＞0，0＜ln2＜2，
所以g′（x）在[0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)x₀，且x₀∈（0，2），${e}^{{x}_{0}}$=2x₀+2，
當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
即g（x）在[0，x₀）調(diào)遞減，在（x₀，+∞）時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥g（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-x₀²-2x₀+7=9-x₀²＞0，
即f（x）＞x²-9，…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．