已知f（x）=lg
1-mx
x-1
是奇函數(shù)
（1）求m的值及函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果判定f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)的定義和條件f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再驗證是否滿足函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明．
解答： 解：（1）∵f（x）=lg
1-mx
x-1
是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
則lg
1+mx
-x-1
+lg
1-mx
x-1
=lg（
1+mx
-x-1
•
1-mx
x-1
）=0，
即
1+mx
-x-1
•
1-mx
x-1
=
1-(mx)2
1-x2
=1，
即1-（mx）2=1-x2，
即m2=1，
則m=1或m=-1，
若m=1，則f（x）=lg
1-mx
x-1
=lg
1-x
x-1
=lg（-1）不成立，
若m=-1，則f（x）=lg
1-mx
x-1
=lg
1+x
x-1
，滿足條件，
由
1+x
x-1
＞0，
解得x＞1或x＜-1，
即函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞1或x＜-1}；
（2）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，下面給出證明．
設(shè)1＜x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=lg
1+x1
x1-1
-lg
1+x2
x2-1
=lg
(1+x1)(x2-1)
(x1-1)(1+x2)
，
而（1+x1）（x2-1）-（x1-1）（1+x2）=2（x2-x1）＞0，及（x1-1）（1+x2）＞0，
∴
(1+x1)(x2-1)
(x1-1)(1+x2)
＞1，
即lg
(1+x1)(x2-1)
(x1-1)(1+x2)
＞0
∴f（x1）＞f（x2）．
即f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是正確解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{bn}滿足b1=1，且bn+1=16bn（n∈N），設(shè)數(shù)列{
bn
}的前n項和是Tn．
（1）比較Tn+12與Tn•Tn+2的大��；
（2）若數(shù)列{an} 的前n項和Sn=2n2+2n+2，數(shù)列{cn}=an-logdbn（d＞0，d≠1），求d的取值范圍使得{cn}是遞增數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�
A、（1，
2
）
B、（
3
，+∞）
C、（
3
，2）
D、（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實數(shù)排了一個“序”類似的，我們在平面向量集D={
a
|
a
=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義在一個稱“序”的關(guān)系，記為“＞＞”，定義如下：對于任意兩個向量
a1
=（x1，y1）
a
2=（x2，y2），“
a
1＞＞
a
2”當(dāng)且僅當(dāng)“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，按上述定義的關(guān)系“＞＞”給出如下四個命題：
①若
e
1=（1，0），
e
2=（0，1），
0
=（0，0），則
e
1＞＞
e
2＞＞
0

②若
a
1＞＞
a
2，
a
2＞＞
a
3，則
a
1＞＞
a
3
③若
a
1＞＞
a
2，則對于任意
a
∈D，
a
1+
a
＞＞
a
2+
a

④對于任意向量
a
＞＞
0
，
0
=（0，0），若
a
1＞＞
a
2，則
a
•
a
1=
a
•
a
2
其中真命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是一個算法流程圖，則輸出的x的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解方程組：
2x+y=7
4x+5y=11
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，AO=2，B是半個單位圓上的動點，△ABC是等邊三角形，求當(dāng)∠AOB等于多少時，四邊形OACB的面積最大，并求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a3=1，Sn是其前n項和，且Sn=an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求an，Sn；
（Ⅱ）設(shè)bn=log2Sn，數(shù)列{cn}滿足cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，當(dāng)n＞1時，求使
2
n-1
Tn＜2n+
n+1
5
成立的最小正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某程序框圖如圖所示，現(xiàn)依次輸入如下四個函數(shù)：
①f（x）=cosx；
②f（x）=
1
x

③f（x）=lgx；
④f（x）=
ex-e-x
2
，
則可以輸出的函數(shù)的序號是
 
．

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