Question

19．已知m，n，s，t∈R⁺，m+n=2，$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$=9，其中m，n是常數(shù)，當s+t取最小值$\frac{4}{9}$時，m，n對應的點（m，n）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的一條弦的中點，則此弦所在的直線方程為x+2y-3=0．

Answer 1

分析 ：由題設知（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）（s+t）=n+m+$\frac{mt}{s}$+$\frac{ns}{t}$≥m+n+2$\sqrt{\frac{mt}{s}•\frac{ns}{t}}$=m+n+2 $\sqrt{mn}$，滿足 $\frac{mt}{s}$=$\frac{ns}{t}$時取最小值，由此得到m=n=1．設以（1，1）為中點的弦交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入x²+2y²=4，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，由此能求出此弦所在的直線方程．

解答 解：∵sm、n、s、t為正數(shù)，m+n=2，$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$=9，
s+t最小值是$\frac{4}{9}$，
∴（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）（s+t）的最小值為4．
∴（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）（s+t）=n+m+$\frac{mt}{s}$+$\frac{ns}{t}$≥m+n+2$\sqrt{\frac{mt}{s}•\frac{ns}{t}}$=m+n+2 $\sqrt{mn}$，
滿足$\frac{mt}{s}=\frac{ns}{t}$時取最小值，
此時最小值為m+n+2$\sqrt{mn}$=2+2$\sqrt{mn}$=4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
設以（1，1）為中點的弦交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入x²+2y²=4，得
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4…①}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4…②}\end{array}\right.$，
①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴此弦所在的直線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-3=0．
故答案為：x+2y-3=0．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，注意均值不等式和點差法的合理運用．