Question

直線l過點P（2，4）且與拋物線y²=8x有且只有一個公共點，求直線方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：因為點（2，4）在拋物線y²=8x上，所以過點（2，4）且與拋物線y²=8x只有一個公共點有兩種情況：過點（2，4）且與拋物線y²=8x相切或過點（2，4）且平行與對稱軸．由此能求出直線方程．

解答： 解：∵點（2，4）在拋物線y²=8x上，
∴過點（2，4）且與拋物線y²=8x只有一個公共點時只能是：
i）過點（2，4）且與拋物線y²=8x相切，
此時設直線方程為：y=k（x-2）+4，
代入拋物線，得：[k（x-2）+4]²=8x，
整理，得：k²x²+（8k-4k²-8）x+4k²-16k+16=0，
∵方程只有一個根，∴x₁=x₂=2，
∴

4k2-8k+8

k2

=4，解得k=1，
∴直線方程為：y=x+2，即x-y+2=0．
ii）過點（2，4）且平行與對稱軸．
此時直線方程為y=4．
綜上所述，滿足條件的直線方程為：x-y+2=0或y=4．

點評：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意拋物線性質的靈活運用．