Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{cosx}$的定義域為（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），當|x_i|＜$\frac{π}{2}$時（i=1，2，3），f（x₁）+f（x₂）≥0，f（x₂）+f（x₃）≥0，f（x₃）+f（x₁）≥0，則下列結論正確的是（　�。�

• A． x₁+x₂+x₃＞0
• B． x₁+x₂+x₃＜0
• C． f（x₁+x₂+x₃）≥0
• D． f（x₁+x₂+x₃）≤0

Answer 1

分析 由函數(shù)的導函數(shù)得知在x∈（0，$\frac{π}{2}$）是單調遞增的，再由奇偶性得到在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，通過單調性與奇偶性相結合得到x₁+x₂+x₃≥0，所以對應的函數(shù)值可以確定．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{cosx}$的定義域為（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
∵f′（x）=$\frac{cosx+xsinx}{（cosx）^{2}}$
∴f（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）是單調遞增的．
∴f（x）在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調遞增．
∵f（x₁）+f（x₂）≥0，
∴f（x₁）≥-f（x₂）≥0，
∴f（x₁）≥f（-x₂）≥0，
∴x₁≥-x₂，
同理可得：x₂≥-x₃，x₃≥-x₁
∴x₁+x₂≥0，x₂+x₃≥0，x₃+x₁≥0
∴x₁+x₂+x₃≥0，
∴f（x₁+x₂+x₃）≥f（0）=0，
故選C

點評 本題考查由函數(shù)的導函數(shù)和奇偶性得到單調性，從而得到x₁+x₂+x₃≥0，所以對應的函數(shù)值可以確定．