Question

17．雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的右焦點為F（c，0），若圓C：（x-c）²+y²=4a²與雙曲線E的漸近線相切，則E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，圓的圓心和半徑，運用直線和圓相切的條件：d=r，計算即可得到b=2a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
圓C：（x-c）²+y²=4a²的圓心為（c，0），半徑為2a，
由直線和圓相切的條件可得，
$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=2a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題．