Question

修建一個(gè)面積為平方米的矩形場(chǎng)地的圍墻，要求在前面墻的正中間留一個(gè)寬度為2米的出入口，后面墻長(zhǎng)度不超過20米，已知后面墻的造價(jià)為每米45元，其它墻的造價(jià)為每米180元，設(shè)后面墻長(zhǎng)度為x米，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為元.

（1）求的表達(dá)式；

（2）試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.

 

Answer 1

（1）；（2）若，最小總費(fèi)用為（元）.，則當(dāng)時(shí)，最小總費(fèi)用為（元）． .

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件可以將所有墻的長(zhǎng)度都用含的代數(shù)式表示出來，再由墻的造價(jià)，即可得到，又由條件后墻長(zhǎng)度不超過20米及前墻留一個(gè)寬度為2米的出入口，可知；（2）由（1）中所求表達(dá)式可知，要求最小費(fèi)用，即求，而是一個(gè)“對(duì)鉤”函數(shù)，需對(duì)的取值范圍分類討論：①，②，從而利用“對(duì)鉤”函數(shù)的單調(diào)性求的最小值.

（1）畫出如下示意圖，由矩形的面積為S，可知與相鄰的邊長(zhǎng)為，∴總費(fèi)用，

顯然，∴；

（2），則，可以證明在遞減，在遞增.

若，即，則當(dāng)時(shí)，最小總費(fèi)用為（元）.

若，即，則當(dāng)時(shí)，

最小總費(fèi)用為（元）．

考點(diǎn)：1.函數(shù)的運(yùn)用；2.函數(shù)單調(diào)性求極值.