【題目】已知函數(shù) ,
(Ⅰ) 證明f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ) 求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
【答案】(I)證明:在[1,+∞)上任取x1 , x2 , 且x1<x2
=
∵x1<x2∴x1﹣x2<0
∵x1∈[1,+∞),x2∈[1,+∞)∴x1x2﹣1>0
∴f(x1)﹣f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
故f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù)
(II)解:由(I)知:
f(x)在[1,4]上是增函數(shù)
∴當x=1時,有最小值2;
當x=4時,有最大值
【解析】(I)用單調(diào)性定義證明,先任取兩個變量且界定大小,再作差變形看符號.
(II)由(I)知f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),可知在[1,4]也是增函數(shù),則當x=1時,取得最小值,當x=4時,取得最大值.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點,需要掌握注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增,和單調(diào)不減兩種才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(﹣3)=0,則(x﹣1)f(x)<0的解集是( )
A.{x|﹣3<x<0或1<x<3}
B.{x|1<x<3}
C.{x|x>3或x<﹣3}
D.{x|x<﹣3或x>1}
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知多面體的底面是邊長為2的正方形, 底面, ,且.
(Ⅰ)記線段的中點為,在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行,要求保留作圖痕跡,但不要求證明.
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=0處的切線為l:4x+y﹣5=0,若x=﹣2時,y=f(x)有極值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于圓周率,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請200名同學,每人隨機寫下一個都小于1的正實數(shù)對(x,y);再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)的個數(shù)m;最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計的值.假如統(tǒng)計結(jié)果是m=56,那么可以估計__________.(用分數(shù)表示)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出50個數(shù),1,2,4,7,11,…,其規(guī)律是:第1個數(shù)是1,第2個數(shù)比第1個數(shù)大1,第3個數(shù)比第2個數(shù)大2,第4個數(shù)比第3個數(shù)大3,…,以此類推.要求計算這50個數(shù)的和.將右邊給出的程序框圖補充完整,
(1)___________________ (2)_______________________
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在上的最大值和最小值;
(2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為處的切線方程為,求證:對于任意的正實數(shù),都有.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班級舉行一次知識競賽活動,活動分為初賽和決賽兩個階段,F(xiàn)將初賽答卷成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計,制成如下頻率分布表.
分數(shù)(分數(shù)段) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
[60,70) | ① | 0.16 |
[70,80) | 22 | ② |
[80,90) | 14 | 0.28 |
[90,100] | ③ | ④ |
合 計 | 50 | 1 |
(1)填充頻率分布表中的空格(在解答中直接寫出對應(yīng)空格序號的答案);
(2)決賽規(guī)則如下:參加決賽的每位同學依次口答4道小題,答對2道題就終止答題,并獲得一等獎。如果前三道題都答錯,就不再答第四題。某同學進入決賽,每道題答對的概率的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同.
①求該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率;
②記該同學決賽中答題個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x2﹣4x+3|,x∈R.
(1)在區(qū)間[0,4]上畫出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)寫出該函數(shù)在R上的單調(diào)區(qū)間.
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