Question

18．已知圓C的方程為x²-y²-2x-4y+m=0
（1）若圓C的半徑為2，求m的值
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）配方可化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）²+（y-2）²=5-m，由題意可得5-m=4，解方程可得；
（2）易得l到圓心（1，2）的距離d，$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由弦長(zhǎng)公式可得m的方程，解方程可得．

解答 解：（1）化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程可得（x-1）²+（y-2）²=5-m，
若圓C的半徑為2，則5-m=4，解得m的值為1；
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得l到圓心（1，2）的距離d=$\frac{|1+2×2-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$可得$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由弦長(zhǎng)公式可得5-m=（$\frac{1}{\sqrt{5}}$）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²，
解方程可得m=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．