Question

6．已知函數(shù)f（x）=x-lnax，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，其中a≠0，a∈R，e為自然常數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求使不等式f（x）＞mg（x）恒成立的實(shí)數(shù)m單位取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，通過(guò)討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題；
（2）將a=1代入，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)討論m的范圍，得到不等式解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x-lnax，a≠0，a∈R，
∴a＞0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），a＜0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0），
又f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴a＞0時(shí)，x＞0，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）有極限值f（1）=1-lna，
a＜0時(shí)，x＜0，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，無(wú)極值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，
由（1）得當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=1，
∵g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x＞0，
∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，g（x）_max=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)m≤0時(shí)，由于g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$＞0，f（x）_min=1，
∴f（x）＞mg（x）恒成立；
m＞0時(shí)，[mg（x）]_max=$\frac{m}{e}$，要使不等式f（x）＞mg（x）恒成立，
只需1＞$\frac{m}{e}$，即m＜e，
綜上，m的范圍是（-∞，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第二問(wèn)中求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題．