Question

8．如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，DD₁=AD=2，A₁B₁=1，C₁E∥平面 ADD₁A₁．
（Ⅰ）證明：E為AB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求二面角A-C₁E-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AD₁，則D₁C₁∥DC∥AB，證明四邊形AEC₁D₁為平行四邊形，即可證明：E為AB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面DEC₁的法向量、平面AEC₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-C₁E-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AD₁，則D₁C₁∥DC∥AB，∴A、E、C₁、D₁四點(diǎn)共面，
∵C₁E∥平面ADD₁A₁，則C₁E∥AD₁，
∴四邊形AEC₁D₁為平行四邊形，
∴AE=D₁C₁=1，
∴E為AB的中點(diǎn)．（6分）
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A（2，0，0），
 E（2，1，0），C₁（0，1，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，1，0），
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，1，2），
設(shè)平面DEC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+2z=0\end{array}$，
令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-2，1）．
設(shè)平面AEC₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），則$\left\{\begin{array}{l}b=0\\-2a+b+2c=0\end{array}$，令a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故二面角A-C₁E-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的性質(zhì)，考查二面角A-C₁E-D的余弦值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．