Question

（A題）已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值．
（1）求a，b的值與函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若g（x）=f（x）-2c，試討論函數g（x）的零點個數，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據所給的函數的解析式，對函數求導，使得導函數等于0，得到關于a，b的關系式，解方程組即可，寫出函數的解析式，對函數求導，寫出函數的導函數等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導函數和函數的單調性情況；
（2）由（1）知：f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，當x=-

2

3

時，f（-

2

3

）=

22

27

+c為極大值，當x=1時，f(1)=c-

3

2

為極小值，由于g(x)=f(x)-2c=0?

y=f(x) y=2c

，則對c進行討論，即可得到答案．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c知，f′（x）=3x²+2ax+b
由于函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值
則f′（-

2

3

）=3×（-

2

3

）²+2a×（-

2

3

）+b=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3×1²+2a×1+b=3+2a+b=0
解得a=-

1

2

，b=-2
則f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數f（x）的單調區(qū)間如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-

2

3

）與（1，+∞），遞減區(qū)間是（-

2

3

，1）；
（2）由（1）知：f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，當x=-

2

3

時，f（-

2

3

）=

22

27

+c為極大值，當x=1時，f(1)=c-

3

2

為極小值，
由于g(x)=f(x)-2c=0?

y=f(x) y=2c

，則
①當2c＜c-

3

2

或2c＞c+

22

27

，即c＜-

3

2

或c＞

22

27

時，g（x）的有一個零點；
②當c-

3

2

＜2c＜c+

22

27

，即-

3

2

＜c＜

22

27

時，g（x）的有三個零點；
③當c=-

3

2

或c=

22

27

時，g（x）的有兩個零點．

點評：本題考查用導數研究函數的單調性，以及與函數零點有關的問題，屬于中檔題．