Question

（1）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值；
（2）已知不等式ax²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，求不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,基本不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把

1

x

+

1

y

化為（

1

x

+

1

y

）（2x+y）=2+

2x

y

+

y

x

+1，利用基本不等式求出最小值；
（2）根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)一元二次方程的關(guān)系，求出a、b的值，再化簡不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0，討論c的值，從而求出該不等式的解集．

解答： 解：（1）∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，
∴

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y）
=2+

2x

y

+

y

x

+1≥3+2

2x y • y x

=3+2

2

，---（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)

2x y = y x 2x+y=1

，
即

x= 2- 2 2 y= 2 -1

時，取得“=”；
∴

1

x

+

1

y

的最小值是3+2

2

；---（7分）
（2）∵不等式ax²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，
∴x=1是方程ax²-3x+6=4的實數(shù)根，
∴a-3+6=4，
解得a=1；
∴x=b也是方程x²-3x+2=0的實數(shù)根，
∴b=2；
∴不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0可化為
x²-（c+2）x+2c＜0，
即（x-c）（x-2）＜0；
解這個不等式，得：
當(dāng)c=2時，不等式的解集為∅，
當(dāng)c＞2時，不等式的解集為{x|2＜x＜c}，
當(dāng)c＜2時，不等式的解集我{x|c＜x＜2}．

點評：本題考查了基本不等式的應(yīng)用問題，也考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，考查了分類討論思想，是綜合題．