Question

11．如圖，等腰梯形ABCD，BC=$\frac{1}{2}$AD，將直徑為4的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AD所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 幾何體為球體減去兩個圓錐和一個圓柱后剩余的部分，使用作差法求出體積．

解答 解：連結(jié)OB，OC，∵BC=$\frac{1}{2}$AB=OB=OC=2，CD=AB
∴△OBC，△OCD，△OAB是等邊三角形，
過C作CM⊥AD，則CM=$\sqrt{3}$，DM=1，
∴陰影部分繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為球體減去兩個圓錐和一個圓柱后剩余部分．
圓柱和圓錐的底面半徑為CM=$\sqrt{3}$，圓柱的高為BC=2，圓錐的高為DM=1．
球的半徑為$\frac{1}{2}$AB=2．
∴幾何體體積V=V_球-2V_圓錐-V_圓柱=$\frac{4}{3}π×{2}^{3}$-2×$\frac{1}{3}π×3×1$-π×3×2=$\frac{8π}{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，體積計算，屬于中檔題．