Question

12．如圖，矩形ABCD和△ABP所在的平面互相垂直，AB=2AD=2，PA=PB．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若多面體ABCDP的體積是$\frac{2\sqrt{6}}{9}$，求直線PD與平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出DA⊥平面PAB，故而DA⊥PB；
（II）取AB中點(diǎn)E，則易證PE⊥平面ABCD，故而∠PDE為所求角，根據(jù)棱錐的體積求出PE，即可得出tan∠PDE．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABP，又PB?平面ABP，
∴AD⊥PB．
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)E，連接PE，DE．
∵PA=PB，E是AB的中點(diǎn)，
∴PE⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，PE?平面ABP，
∴PE⊥平面ABCD，
∴直線PD與平面ABCD所成的角為∠PDE．
∵${{V}_{ABCDP}}={{V}_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×1×2×PE=\frac{2\sqrt{6}}{9}$，∴$PE=\frac{\sqrt{6}}{3}$
∵$DE=\sqrt{A{{E}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{2}$，∴$tan∠PDE=\frac{PE}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PDE=30°．
所以直線PD與平面ABCD所成的角為30°．．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．