【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsin(θ)=0.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l的參數(shù)方程是(α為參數(shù)),且α∈(,π)時,直線l與曲線C有且只有一個交點P,求點P的極徑.
【答案】(1).(2)4
【解析】
(1)展開ρ2﹣4ρsin(θ)=,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式,即得解.
(2)先轉(zhuǎn)化直線l的參數(shù)方程為一般方程,利用圓心到直線的距離等于半徑可得解tanα,求出P的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),即得解.
由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式:
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsin(θ)=
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為,
即.
(2)直線l的參數(shù)方程是(α為參數(shù)),且α∈(,π)時,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為,
由于直線l與曲線C有且只有一個交點P,
所以圓心()到直線的距離d,
又α∈(,π)
解得tanα(舍去)或-1
故直線l的方程為.
與圓C聯(lián)立可得:
極徑長為ρ.
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【題目】已知函數(shù)()的圖象為曲線.
(Ⅰ)求曲線上任意一點處的切線的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)若曲線上存在兩點處的切線互相垂直,求其中一條切線與曲線的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(Ⅲ)試問:是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點?如果存在,求出符合條件的所有直線方程;若不存在,說明理由.
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【題目】直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4acosθ,直線l與曲線C交于不同的兩點M,N.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知a>0,設(shè)點P(﹣1,﹣2),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.
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【題目】如圖,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,底面ABCD是邊長為6的正方形,M,N分別為線段AC1,D1C上的動點,若直線MN與平面B1BCC1沒有公共點或有無數(shù)個公共點,點E為MN的中點,則E點的軌跡長度為_____.
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【題目】1772年德國的天文學(xué)家波得發(fā)現(xiàn)了求太陽的行星距離的法則,記地球距離太陽的平均距離為10,可以算得當(dāng)時已知的六大行星距離太陽的平均距離如下表:
星名 | 水星 | 金星 | 地球 | 火星 | 木星 | 土星 |
與太陽的距離 | 4 | 7 | 10 | 16 | 52 | 100 |
除水星外,其余各星與太陽的距離都滿足波得定則(某一數(shù)列規(guī)律),當(dāng)時德國數(shù)學(xué)家高斯根據(jù)此定則推算,火星和木星之間距離太陽28還有一顆大行星,1801年,意大利天文學(xué)家皮亞齊經(jīng)過觀測,果然找到了火星和木星之間距離太陽28的谷神星以及它所在的小行星帶,請你根據(jù)這個定則,估算從水星開始由近到遠算,第10個行星與太陽的平均距離大約是( )
A.388B.772C.1540D.3076
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【題目】已知直線過橢圓的右焦點,拋物線的焦點為橢圓的上頂點,且交橢圓于兩點,點在直線上的射影依次為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交軸于點,且,當(dāng)變化時,證明: 為定值;
(3)當(dāng)變化時,直線與是否相交于定點?若是,請求出定點的坐標(biāo),并給予證明;否則,說明理由.
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【題目】2018年國際乒聯(lián)總決賽在韓國仁川舉行,比賽時間為12月13﹣12月16日,在男子單打項目,中國隊準(zhǔn)備選派4人參加.已知國家一線隊共6名隊員,二線隊共4名隊員.
(1)求恰好有3名國家一線隊隊員參加比賽的概率;
(2)設(shè)隨機變量X表示參加比賽的國家二線隊隊員的人數(shù),求X的分布列;
(3)男子單打決賽是林高遠(中國)對陣張本智和(日本),比賽采用七局四勝制,已知在每局比賽中,林高遠獲勝的概率為,張本智和獲勝的概率為,前兩局比賽雙方各勝一局,且各局比賽的結(jié)果相互獨立,求林高遠獲得男子單打冠軍的概率.
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