Question

已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（

π

2

，

3π

2

）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sinα

1+tanα

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的化簡求值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量模的公式，以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式，即可得到；
（2）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式，注意兩邊平方，和切化弦的思想方法，即可求值．

解答： 解：（1）∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴由|

AC

|=|

BC

|，得

(3-cosα)2+sin2α

=

cos2α+(3-sinα)2

，
即9-6cosα+cos²α+sin²α=cos²α+9-6sinα+sin²α，
則cosα=sinα，tanα=1
∴α=

5π

4

．
（2）∵

AC

•

BC

=-1，即（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，
∴cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

，α∈（

π

2

，π），
∴（sinα+cosα）²=

4

9

，即1+2sinαcosα=

4

9

，
即2sinαcosα=-

5

9

，
∴

2sinα

1+tanα

=

2sinαcosα

cosα+sinα

=

- 5 9

2 3

=-

5

6

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及向量的模的公式，考查同角三角函數(shù)的關(guān)系式，以及切化弦的思想方法，屬于中檔題．