Question

已知sinθ-cosθ=-

1

5

 ，θ∈(0，

π

2

)，求下列各式的值
（1）sinθ•cosθ
（2）sinθ+cosθ
（3）tanθ

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）對(duì)sinθ-cosθ=-

1

5

的等號(hào)兩端平方即可求得sinθ•cosθ的值；
（2）由（1）知，2sinθ•cosθ=

24

25

，于是sin²θ+2sinθ•cosθ+cos²θ=（sinθ+cosθ）²=

49

25

，而θ∈（0，

π

2

），從而可求答案；
（3）由（1）、（2）知，

sinθ-cosθ=- 1 5 sinθ+cosθ= 7 5

，解之即可求得tanθ的值．

解答： 解：（1）∵sinθ-cosθ=-

1

5

，θ∈（0，

π

2

），
∴sin²θ-2sinθ•cosθ+cos²θ=

1

25

，
∴2sinθ•cosθ=1-

1

25

=

24

25

，
∴2sinθ•cosθ=

12

25

；
（2）由（1）知，2sinθ•cosθ=

24

25

，
∴sin²θ+2sinθ•cosθ+cos²θ=

49

25

，即（sinθ+cosθ）²=

49

25

，
又θ∈（0，

π

2

），
∴sinθ+cosθ=

7

5

；
（3）由

sinθ-cosθ=- 1 5 sinθ+cosθ= 7 5

得，sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，考查解方程組的能力，屬于中檔題．