【題目】

如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD

I)證明:PQ⊥平面DCQ

II)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.

【答案】解析:(I)見(jiàn)解析;(21.

【解析】

試題(1)要證直線與平面垂直,只須證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可,注意到QA⊥平面ABCD,所以有平面PDAQ⊥平面ABCD,且交線為AD,又因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,由面面垂直的性質(zhì)可得DC⊥平面PDAQ,從而有PQ⊥DC,又因?yàn)?/span>PD∥QA,且QAABPD ,所以四邊形PDAQ為直角梯形,利用勾股定理的逆定理可證PQ⊥QD;從而可證 PQ⊥平面DCQ;(2)設(shè)ABa,則由(1)及已知條件可用含a的式子表示出棱錐QABCD的體積和棱錐PDCQ的體積從而就可求出其比值.

試題解析:(1)證明:由條件知PDAQ為直角梯形.

因?yàn)?/span>QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線為AD.

又四邊形ABCD為正方形,DC⊥AD

所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD,

PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.

(2)設(shè)ABa.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高,所以棱錐QABCD的體積V1a3.

(1)PQ為棱錐PDCQ的高,而PQa,△DCQ的面積為a2,

所以棱錐PDCQ的體積V2a3.

故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C. 則對(duì)任意滿足不等式的都存在為邊長(zhǎng)的三角形

D. ,則對(duì)滿足不等式的不存在為邊長(zhǎng)的直角三角形

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(2)當(dāng)時(shí),證明:;

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(1)求的軌跡方程;

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