Question

定義在[-1，1]的函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：①任意的x∈[-1，1]，都有f（-x）=-f（x）；②任意的m，n∈[0，1]，當(dāng)m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，則不等式f（1-3x）＜f（x-1）的解集是（　�。�

• A、[0，

  1

  2

  ）
• B、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• C、[-1，

  1

  2

  ）
• D、[

  2

  3

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由①得到f（0）=0，f（x）是[-1，1]上的奇函數(shù)，由②得到f（x）在[0，1]上是遞減函數(shù)，從而有f（x）在[-1，1]上是遞減函數(shù)，再由單調(diào)性解不等式f（1-3x）＜f（x-1），注意定義域[-1，1]．

解答： 解：∵任意的x∈[-1，1]，都有f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0，f（x）是[-1，1]上的奇函數(shù)，
∵任意的m，n∈[0，1]，當(dāng)m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，
∴f（x）在[0，1]上是遞減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上也是遞減函數(shù)，
即f（x）在[-1，1]上是遞減函數(shù)，
∴不等式f（1-3x）＜f（x-1）?

-1≤1-3x≤1 -1≤x-1≤1 1-3x＞x-1

即

0≤x≤ 2 3 0≤x≤2 x＜ 1 2

∴0≤x＜

1

2

，
故解集為[0，

1

2

）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．