Question

如圖所示，已知A、B分別是離心率為e的橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，|OA|=2，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，直線OM（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于C、D兩點(diǎn)，△ABC與△ABD的面積分別記為S₁、S₂．
（1）用e表示點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．
（2）求證：

S1

S2

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出直線OM的方程，代入橢圓方程，化簡整理，即可用e表示點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．
（2）

S1

S2

=

|CM|

|DM|

=

(1- 2 )2+[ 1-e2 - 2(1-e2) ]2

(1+ 2 )2+[ 1-e2 + 2(1-e2) ]2

，化簡可得結(jié)論．

解答： （1）解：∵a=2，∴b²=a²（1-e²）=4（1-e²），
∴b=2

1-e2

，
∴A（2，0），B（0，2

1-e2

），
∴M（1，

1-e2

），故直線OM的方程為y=

1-e2

x，
代入橢圓方程，化簡整理得：x²=

a2

2

=2，即x=±

2

，
可得：C（

2

，

2(1-e2)

），
D（-

2

，-

2(1-e2)

）．（6分）
（2）證明：

S1

S2

=

|CM|

|DM|

=

(1- 2 )2+[ 1-e2 - 2(1-e2) ]2

(1+ 2 )2+[ 1-e2 + 2(1-e2) ]2

=

2 -1

2 +1

=3-2

2

，為定值．（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩個三角形面積比值是否為定值的判斷與證明，屬于中檔題．