Question

將正整數(shù)按如圖的規(guī)律排列，把第一行數(shù)1，2，3，10，17，…記為數(shù)列{a_n}（n∈N₊），第一數(shù)列1，4，9，16，25，…記為數(shù)列{b_n}（n∈N₊）
（1）寫出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明：3（T_n+T_n）=2n³+4n（n∈N₊）；
（3）當(dāng)n≥3時(shí)，證明：

5

4

＜

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

7

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，可知a_n-a_n-1=2n-1，從而可求得a_n=a₁+1+3+…+（2n-3）=n²-2n+2；觀察知b_n=n²；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可：當(dāng)n=1時(shí)3（T₁+S₁）=2×1³+4×1=6成立；假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即3（T_k+S_k）=2k³+4k，去推證n=k+1時(shí)，3（T_k+1+S_k+1）=2（k+1）³+4（k+1）也成立即可；
（3）當(dāng)n≥3時(shí)，b_n=n²＞0，易證

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＞

1

b1

+

1

b2

=

5

4

；利用放縮法易證

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

1

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

，再利用裂項(xiàng)法即可證得結(jié)論成立．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由a_n-a_n-1=2n-1，得：a_n=a₁+1+3+…+（2n-3）=n²-2n+2，…（3分）
b_n=n²…（4分）
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，T₁=S₁=1，∴3（T₁+S₁）=6，又2n³+4n=6，∴n=1時(shí)等式成立；…（5分）
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即3（T_k+S_k）=2k³+4k，
則n=k+1時(shí)，
3（T_k+1+S_k+1）=3（T_k+S_k）+3（b_k+1+a_k+1）=2k³+4k+3[（k+1）²+（k+1）²-2（k+1）+2]
=2k³+4k+6+6（k+1）²-6（k+1）
=2k（k²-1）+6（k+1）+6k（k+1）
=（2k²+4k+6）（k+1）
=[2（k+1）²+4]（k+1）
=2（k+1）³+4（k+1），
∴n=k+1時(shí)等式也成立．…（8分）
根據(jù)①②，3（T_n+S_n）=2n³+4n（n∈N₊）；都成立．　  …（9分）
（3）當(dāng)n≥3時(shí)，b_n=n²＞0，∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＞

1

b1

+

1

b2

=

5

4

．…（11分）
又

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

1

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=

5

4

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=

5

4

+

1

2

-

1

n

＜

7

4

．
綜上可知：綜上可知：

5

4

＜

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

7

4

成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的確定及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查放縮法與裂項(xiàng)法的綜合應(yīng)用，考查推理、綜合運(yùn)算及抽象思維、邏輯思維能力，屬于難題．