Question

【題目】已知城和城相距，現(xiàn)計(jì)劃以為直徑的半圓上選擇一點(diǎn)（不與點(diǎn)， 重合）建造垃圾處理廠.垃圾處理廠對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城和城的總影響度為對(duì)城與城的影響度之和.記點(diǎn)到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比例關(guān)系，比例系數(shù)為4；對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比例關(guān)系，比例系數(shù)為.當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為0.065.

（1）將表示成的函數(shù).

（2）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷在上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）點(diǎn)到城的距離為時(shí)，函數(shù)有最小值.

【解析】（1）由點(diǎn)是在以為直徑的半圓上，則易知，由勾股定理可得， ，再根據(jù)題意建立函數(shù)模型，求出系數(shù),從而問(wèn)題可得解；（2）由（1）可得，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究該的單調(diào)性，并求出其最小值，從而問(wèn)題可得解.

試題解析：（1）由題意知， ， ，

則，

所以 .

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，

代入表達(dá)式解得，

所以 .

（2）因?yàn)?/span>，

所以 .

令，得，

所以，即.

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)為增函數(shù).

所以當(dāng)，即點(diǎn)到城的距離為 時(shí)，函數(shù) 有最小值.