Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N*）．
（1）寫出a₂、a₃的值（只寫出結(jié)果），并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+$$\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$，若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式${t^2}-2t+\frac{1}{6}＞{b_n}$恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)迭代法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和求出b_n，再利用定義證明數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，即可求出b_n的最大值，再解不等式即可求出t的范圍

解答 解：（1）a₂=6，a₃=12
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2（1+2+3+…+n）=n（n+1）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也滿足上式，
∴a_n=n（n+1）
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$，
=$\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}+\frac{1}{{（{n+2}）（{n+3}）}}$$+…+\frac{1}{{2n（{2n+1}）}}$，
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$，
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}$，
∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{2n+3}-（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
=$\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n+1}-（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+3}}）$，
=$\frac{3n+3}{{2{n^2}+5n+2}}-\frac{3n+4}{{2{n^2}+5n+3}}＜0$，
∴b_n+1＜b_n，
則數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴${（{b_n}）_{max}}={b_1}=\frac{1}{6}$，
∴${t^2}-2t+\frac{1}{6}＞{b_n}$$?{t^2}-2t+\frac{1}{6}＞\frac{1}{6}$?t²-2t＞0?t＜0或t＞2，
∴t∈（-∞，0）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了裂項(xiàng)求和、迭代求出數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．