Question

研究某灌溉渠道水的流速Y與水深x之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下：

水深x/m	1.40	1.50	1.60	1.70	1.80	1.90	2.00	2.10
流速Y/(m·s-1)	1.70	1.79	1.88	1.95	2.03	2.10	2.16	2.21

（1）求Y對x的回歸直線方程；

（2）預(yù)測水深為1.95 m時水的流速是多少？

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：從散點圖可以直觀地看出變量x與Y之間有無線性相關(guān)關(guān)系，為此把這8對數(shù)據(jù)描繪在平面直角坐標系中，得到平面上8個點，如圖所示. 由圖容易看出，x與Y之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，或者說，可以用一個回歸直線方程=a+bx來反映這種關(guān)系，這些是我們在必修模塊數(shù)學(xué)3中學(xué)過的知識. 進一步觀察這8個點，容易發(fā)現(xiàn)它們并不是“嚴格地”在一條直線上，對于某個xi，由上式能確定一個=a+bxi，一般地說，由于測量流速可能存在誤差，或者受某些隨機因素的影響，或者上面的回歸直線方程本身就不夠精確，與測得的數(shù)據(jù)yi很可能不相等，即yi=i+ei(i=1,2,…,8),其中ei是隨機誤差項.于是，就有yi=a+bxi+ei(i=1,2,…,8),這就是本題的線性模型. 從上述線性模型出發(fā)，我們可以求出a與回歸系數(shù)b的估計值,，使得全部誤差e1,e2,…,e8的平方和達到最小，當(dāng)然，這是一種很好的估計.最后得到的求,的數(shù)學(xué)公式為 = . 解析：（1）可采用列表的方法計算a與回歸系數(shù)b. 序號 x y x2 xy 1 1.40 1.70 1.96 2.380 2 1.50 1.79 2.25 2.685 3 1.60 1.88 2.56 3.008 4 1.70 1.95 2.89 3.315 5 1.80 2.03 3.24 3.654 6 1.90 2.10 3.61 3.990 7 2.00 2.16 4.00 4.320 8 2.10 2.21 4.41 4.641 ∑ 14.001 5.822 4.922 7.993 于是，=×14.00=1.75, =×15.82=1.977 5, =≈0.733. =1.977 5-×1.75≈0.694. Y對x的回歸直線方程為 =+x=0.694+0.733x. 回歸系數(shù)=0.733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s(本例數(shù)據(jù)是以0.1 m為水深間隔測得的），=0.694可以解釋為水的流速中不受水深影響的部分. （2）由（1）中求出的回歸直線方程，把x=1.95代入，易得 =0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s). 計算結(jié)果表明，當(dāng)水深為1.95 m時可以預(yù)測渠水的流速約為2.12 m/s.