Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ABC=90°，AB=BC=4，BB₁=3，M、N分別是B₁C₁和AC的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐B₁-ABC₁的體積；
（2）求MN與底面ABC所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用等體積，計(jì)算三棱錐B₁-ABC₁的體積；
（2）取BC的中點(diǎn)P，連接MP、NP，根據(jù)三角形中位線定理，得MP∥BB₁，則MP⊥平面ABC，解三角形MNP即可得到MN的長，確定MN與底面所成的角為∠MNP，解三角形MNP即可得到MN與底面ABC所成的角．

解答： 解：（1）VB1-ABC1=VC1-ABC=

1

3

•

1

2

•4•4•3=8．
（2）取BC的中點(diǎn)P，連接MP、NP，則MP∥BB₁，

∴MP⊥平面ABC，又NP?平面ABC，
∴MP⊥NP，MN與底面所成的角為∠MNP
∵PN=2，MP=3，
∴MN=

4+9

=

13

．
∵NP=2，
∴tan∠MNP=

3

2

，
∴∠MNP=arctan

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，根據(jù)線面夾角的定義，求出線面夾角是解答本題的關(guān)鍵．