Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2{x}^{2}-kx+k}{{e}^{x}}$．
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）試確定實(shí)數(shù)k的值，使f（x）的極小值為0．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得-2x²+（4+k）x-2k≤0恒成立，運(yùn)用判別式小于等于0，解不等式即可得到所求值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)k討論，當(dāng)k＞4時(shí)，當(dāng)k＜4時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極小值，解方程即可得到所求k的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{2{x}^{2}-kx+k}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+（4+k）x-2k}{{e}^{x}}$，
由f′（x）≤0在R上恒成立，可得-2x²+（4+k）x-2k≤0恒成立，
即有判別式△=（4+k）²-16k≤0，
解得（k-4）²≤0，由（k-4）²≥0，
解得k=4．
即有當(dāng)k為4時(shí)，f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）由于f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+（4+k）x-2k}{{e}^{x}}$，
由-2x²+（4+k）x-2k=-2（x-2）（x-$\frac{k}{2}$），（k≠4），
當(dāng)k＞4時(shí)，由f′（x）＞0可得2＜x＜$\frac{k}{2}$；由f′（x）＜0可得x＞$\frac{k}{2}$或x＜2．
可得x=2處取得極小值，且有f（2）=0，
即8-2k+k=0，解得k=8，成立；
當(dāng)k＜4時(shí)，由f′（x）＞0可得$\frac{k}{2}$＜x＜2；由f′（x）＜0可得x＜$\frac{k}{2}$或x＞2．
可得x=$\frac{k}{2}$處取得極小值，且有f（$\frac{k}{2}$）=0，
即$\frac{{k}^{2}}{2}$-$\frac{{k}^{2}}{2}$+k=0，解得k=0，成立．
綜上可得，當(dāng)實(shí)數(shù)k的值為0和8，使f（x）的極小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和不等式恒成立問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．