Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$，下列結(jié)論中：
①函數(shù)f（x）關(guān)于x=$\frac{π}{8}$對(duì)稱；
②函數(shù)f（x）關(guān)于（-$\frac{π}{8}$，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{8}$）是增函數(shù)，
④將y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{3π}{8}$可得到f（x）的圖象．
其中正確的結(jié)論序號(hào)為③④．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），由2x-$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)對(duì)稱軸．①不正確；由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得函數(shù)對(duì)稱中心為：（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，0），②不正確；由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，可得③正確；將y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{3π}{8}$可得到y(tǒng)=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos[2（x-$\frac{3π}{8}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得④正確．

解答 解：∵f（x）=sin²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
對(duì)于①，2x-$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)對(duì)稱軸為：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}$，k∈Z，故①不正確；
對(duì)于②，由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，故函數(shù)對(duì)稱中心為：（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，0），②不正確；
對(duì)于③，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{8}$，k$π+\frac{3π}{8}$]，k∈Z，故可得函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{8}$）是增函數(shù)，③正確；
對(duì)于④，將y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{3π}{8}$可得到y(tǒng)=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos[2（x-$\frac{3π}{8}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x-$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{3π}{4}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{5π}{4}$-2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．