Question

某電子儀器廠打算生產(chǎn)某種儀器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)該儀器價(jià)格P為200元時(shí)，需求量Q為3000臺(tái)．若該儀器價(jià)格P每提高20元，需求量Q就減少500臺(tái)；當(dāng)儀器價(jià)格P釘在215元時(shí)，儀器廠的供應(yīng)量S為3425臺(tái)，儀器價(jià)格P每提高40元，儀器廠就多生產(chǎn)并增加供應(yīng)280臺(tái)．試求：
（1）當(dāng)價(jià)格P為多少時(shí)，銷售收入R最多？（銷售收入=價(jià)格×銷售量）
（2）當(dāng)需求量Q為多少時(shí)，達(dá)到供求平衡？（供求平衡指供應(yīng)量=需求量）此時(shí)銷售收入是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，銷售量即需求量Q是價(jià)格P的一次函數(shù)，可得R=P•Q=P•（-25P+8 000）=-25（P-160）²+640 000，即可得出結(jié)論；
（2）供應(yīng)量S也是價(jià)格的一次函數(shù)，利用供應(yīng)量=需求量，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意，銷售量即需求量Q是價(jià)格P的一次函數(shù)，其圖象是斜率為負(fù)的直線．由點(diǎn)斜式，得Q-3 000=-

500

20

（P-200），
即Q=-25P+8 000（0＜P＜320），如圖中的l₁，
∴R=P•Q=P•（-25P+8 000）=-25（P-160）²+640 000．
又∵160∈（0，320），
∴當(dāng)P=160時(shí)，R有最大值640 000．
故價(jià)格為160元時(shí)，銷售收入最多為640 000元．
（2）供應(yīng)量S也是價(jià)格的一次函數(shù)，其圖象是斜率為正的直線，由點(diǎn)斜式，得
S-3 425=

280

40

（P-215），
即S=7P+1 920．
如圖中的l₂，
∵供求平衡，
∴S=7P+1 920=-25P+8 000=Q．
∴P=190，此時(shí)Q=3 250，R=P•Q=617 500．
故需求量為3 250臺(tái)時(shí)，達(dá)到供求平衡，此時(shí)銷售收入為617 500元．

點(diǎn)評(píng)：這是一道供求問(wèn)題，本題已給出有關(guān)量的關(guān)系式，解本題的突破點(diǎn)是依據(jù)提供的信息，建立供應(yīng)量S或需求量Q是價(jià)格P的一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并聯(lián)系二次函數(shù)求最值等知識(shí)解題．