Question

11．已知全集U=R，集合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$+lg（3-x）}，集合B={x|x²+（2-a）x-2a＜0}．
（1）求集合C_∪A．
（2）若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的解析式可得不等式組，由此求得函數(shù)的定義域A，從而求得∁_UA．
（2）先求出集合B，若A∪B=A，則B⊆A，當(dāng)B≠∅時(shí)，通過討論a的范圍，解得a的范圍；當(dāng)B=∅時(shí)，應(yīng)有a=-2，由此解得a的范圍．再把以上兩個(gè)實(shí)數(shù)a的取值范圍取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵集合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$+lg（3-x）}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
即A=（2，3），
∴∁_UA=（-∞，2]∪[3，+∞）．
（2）集合B={x|x²+（2-a）x-2a＜0}，
∴（x+2）（x-a）＜0，
a＞-2時(shí)，解得：B=（-2，a），
a＜-2時(shí)，解得：B=（a，-2），
a=-2時(shí)，B=∅，
若A∪B=A，則B⊆A，再根據(jù)集合B={x|a＜x＜2a-1}，
故當(dāng)B≠∅時(shí)，應(yīng)有-2＜a≤2或a＜-2．
當(dāng)B=∅時(shí)，應(yīng)有a=-2．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的定義域，集合間的包換關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．