Question

1．如圖，在三棱錐AB0C中．AO⊥平面BOC，∠OAB=∠OAC=$\frac{π}{6}$．AB=AC=2．BC=$\sqrt{2}$，D，E分別為AB，OB的中點．
（1）求O到平面ABC的距離；
（2）在線段CB上是否存在一點F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，試確定F的位置，并證明此點滿足要求；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明OC⊥OB，利用等體積法，求出O到平面ABC的距離；
（2）取CB的中點F，連接DF，EF，則DF∥AC，DE∥AO，從而可得平面DEF∥平面AOC．

解答 （1）證明：∵AO⊥底面BOC，
∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=2，
∴OC=OB=1．
∵BC=$\sqrt{2}$，由勾股定理得OC⊥OB，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴由等體積可得O到平面ABC的距離=$\frac{{S}_{△OBC}•OA}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）存在CB的中點F滿足題意，
證明：取CB的中點F，連接DF，EF，則由于D，E分別為AB，OB的中點，有DF∥AC，DE∥AO，
∵DF∩DE=D，AC∩AO=A，DF，DE?平面DEF，AO，AC?平面AOC，
∴平面DEF∥平面AOC．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，平面與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．