【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是的中點(diǎn).
(1)設(shè)P是上的一點(diǎn),且AP⊥BE,求∠CBP的大。
(2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析: (1)第(1)問,直接證明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,從而求出∠CBP的大小. (2)第(2)問,可以利用幾何法求,也可以利用向量法求解.
試題解析:
(1)
因?yàn)锳P⊥BE,AB⊥BE,AB,AP平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.
又BP平面ABP,所以BE⊥BP.又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.
(2)方法一:如圖,取的中點(diǎn)H,連接EH,GH,CH.
因?yàn)椤螮BC=120°,所以四邊形BEHC為菱形,
所以AE=GE=AC=GC=.
取AG的中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC,
則EM⊥AG,CM⊥AG,
所以∠EMC為所求二面角的平面角.
又AM=1,所以EM=CM=.
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,
所以EC=2,所以△EMC為等邊三角形,
故所求的角為60°.
方法二:
以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.
由題意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,3),C(-1, ,0),
故=(2,0,-3), =(1, ,0), =(2,0,3).
設(shè)=(x1,y1,z1)是平面AEG的一個(gè)法向量,
由可得
取z1=2,可得平面AEG的一個(gè)法向量=(3,- ,2).
設(shè)=(x2,y2,z2)是平面ACG的一個(gè)法向量.
由可得
取z2=-2,得平面ACG的一個(gè)法向量n=(3,- ,-2).
所以cos〈〉==.
故所求的角為60°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司有價(jià)值10萬元的一條流水線,要提高該流水線的生產(chǎn)能力,就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造,改造就需要投入,相應(yīng)就要提高產(chǎn)品附加值,假設(shè)附加值萬元與技術(shù)改造投入萬元之間的關(guān)系滿足:① 與和的乘積成正比;② 當(dāng)時(shí),;③,其中為常數(shù),且.
(1)設(shè),求出的表達(dá)式,并求出的定義域;
(2)求出附加值的最大值,并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入的的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)寫出函數(shù)的解析式;
(2)若直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍;
(3)若直線 與曲線在內(nèi)有交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若時(shí),求與的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若上的點(diǎn)到距離的最大值為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市2011年至2017年新開樓盤的平均銷售價(jià)格(單位:千元/平方米)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售價(jià)格 | 3 | 3.4 | 3.7 | 4.5 | 4.9 | 5.3 | 6 |
(1)求關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2011年至2017年該市新開樓盤平均銷售價(jià)格的變化情況,并預(yù)測(cè)該市2019年新開樓盤的平均銷售價(jià)格。
附:參考公式: ,,其中為樣本平均值。
參考數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f (x)=ln x-x+1.
(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性;
(2)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí), ;
(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)若方程兩個(gè)根之和為4,兩根之積為3,且過點(diǎn)(2,-1).求的解集;
(2)若關(guān)于的不等式的解集為.
(。┣蠼怅P(guān)于的不等式
(ⅱ)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的最大值
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