Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若當(dāng)x，y∈[-1，1]，x+y≠0時，有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
（1）比較f（$\frac{1}{2}$）與f（$\frac{1}{3}$）的大小；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法進行比較即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合函數(shù)關(guān)系進行證明即可．
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）令x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{3}$，
則由（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
得（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）•[f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）]＞0．
即f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）＞0．
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{3}$）＞0．
即f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）．
（2）∵（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
∴令y取-y得（x-y）•[f（x）+f（-y）]＞0．
不妨設(shè)x＜y，則f（x）+f（-y）＜0，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式等價為f（x）＜-f（-y）=f（y），
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
∴不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x）等價為$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-2x≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-2x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{0≤x≤1}\\{x＜\frac{1}{6}}\end{array}\right.$．解得0≤x＜$\frac{1}{6}$，即不等式的解集為[0，$\frac{1}{6}$）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．