Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，那么$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$=1，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+$f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2015}}）$=$\frac{4029}{2}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，能求出$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$=1，由此能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+$f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2015}}）$的值．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，
∴$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+$f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2015}}）$
=2014×1+f（1）
=2014+$\frac{1}{1+1}$
=$\frac{4029}{2}$．
故答案為：1，$\frac{4029}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．