Question

在平面直角坐標(biāo)系中，不等式

x+y≥0 x-y+4≥0 x≤1

表示的平面區(qū)域面積是n，則二項(xiàng)式（x-

2

x

）ⁿ展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)是（　　）

• A、-672
• B、-84
• C、84
• D、672

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,二項(xiàng)式定理

分析：由約束條件作出可行域，求出三角形的面積得到n的值，寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為3求得r值，則答案可求．

解答： 解：由不等式

x+y≥0 x-y+4≥0 x≤1

作出表示的平面區(qū)域如圖，
聯(lián)立

x+y=0 x-y+4=0

，解得：

x=-2 y=2

，則C（-2，2）．
聯(lián)立

x=1 x+y=0

，解得

x=1 y=-1

，則A（1，-1）．
聯(lián)立

x=1 x-y+4=0

，解得

x=1 y=5

．
∴平面區(qū)域面積n=

1

2

×|5-（-1）|×|1-（-2）|=9．
代入（x-

2

x

）ⁿ得(x-

2

x

)9．
Tr+1=

C

r 9

x9-r(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 9

x9-2r，
由9-2r=3，得r=3．
∴二項(xiàng)式（x-

2

x

）ⁿ展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)是(-2)3

C

3 9

=-672．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．