Question

將拋物線x2=-2

2

y向上平移

2

個(gè)單位長度后，拋物線過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)和左右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）若點(diǎn)P（m，0）滿足如下條件：過點(diǎn)P且傾斜角為

5

6

π的直線l與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，使右焦點(diǎn)F在以CD線段為直徑的圓外，試求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定橢圓的焦點(diǎn)，可求橢圓的幾何量，即可求橢圓方程；
（2）直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)，代入橢圓方程消去y，利用韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)F在圓的外部，

FC

•

FD

＞0，即可確定m的取值范圍．

解答： 解：（1）拋物線x2=-2

2

y的圖象向上平移

2

個(gè)單位長度后其解析式為x2=-2

2

(y-

2

)，其與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（±2，0）、(0，

2

)，∴b=

2

，c=2，（2分）
∴a²=6，
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．（5分）
（2）由題意可得直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)，代入橢圓方程消去y得，2x²-2mx+m²-6=0，（7分）
又△=4m²-8（m²-6）＞0，∴-2

3

＜m＜2

3

．（7分）
設(shè)C、D分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

，
∴y1y2=[-

3

3

(x1-m)]•[-

3

3

(x2-m)]=

1

3

x1x2-

m

3

(x1+x2)+

m2

3

，
∵

FC

=(x1-2，y1)，

FD

=(x2-2，y2)，
∴

FC

•

FD

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=

4

3

x1x2-

m+6

3

(x1+x2)+

m2

3

+4=

2m(m-3)

3

，（11分）
∵點(diǎn)F在圓的外部，∴

FC

•

FD

＞0，即

2m(m-3)

3

＞0，解得m＜0或m＞3，
又∵-2

3

＜m＜2

3

，
∴-2

3

＜m＜0或3＜m＜2

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．