Question

下列命題中正確的有

 

．（填上所有正確命題的序號）
①若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值；
②直線5x-2y+1=0與函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）的圖象不相切．
③若z∈C（C為復(fù)數(shù)集）且|z+2-2i|=1，則|z-2-2i|的最小值是3
④定積分

∫

0 -4

16-x2

dx=4π．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：①舉反例，比如f（x）=x³，f′（0）=0，加以判斷即可；
②求出導(dǎo)數(shù)f′（x），由切線的斜率等于f′（x₀），根據(jù)三角函數(shù)的值域加以判斷即可；
③|z+2-2i|=1表示圓，|z-2-2i|的幾何意義兩點(diǎn)的距離，通過連接兩定點(diǎn)，由原定特性即可求出最小值；
④令y=

16-x2

，則x²+y²=16（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，則該積分表示該圓面積的

1

4

．

解答： 解：①比如f（x）=x³，f′（0）=0，但x=0不是極值點(diǎn)，是因為x=0處的導(dǎo)數(shù)同號，故①錯；
②若直線與函數(shù)的圖象相切，則f′（x₀）=

5

2

，即2cos（2x₀+

π

3

）=

5

2

，顯然x₀不存在，故②正確；
③|z+2-2i|=1的幾何意義是以A（-2，2）為圓心，半徑為1的圓，|z-2-2i|的幾何意義是圓上一點(diǎn)到點(diǎn)B（2，2）的距離，連接AB并延長，顯然最小值為AB-1=4-1=3，故③正確；
④令y=

16-x2

，則x²+y²=16（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，定積分

∫

0 -4

16-x2

dx
表示以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓面積的

1

4

，故定積分

∫

0 -4

16-x2

dx=

1

4

×π×42=4π，故④正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評：本題以命題的真假為載體考查函數(shù)的極值概念，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用于求切線方程，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，定積分的幾何意義及求法，是一道基礎(chǔ)題．