Question

以下是關(guān)于函數(shù)f（x）=

4|x|

x2+1

的四個(gè)命題：
①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②f（x）在區(qū)間[-1，0]∪[1，+∞）上單調(diào)遞減；
③f（x）在x=-1處取得極小值，在x=1處取得極大值；
④f（x）有最大值，無(wú)最小值；
⑤若方程f（x）-k=0至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，2）．
其中為真命題的是

 

（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)你認(rèn)為是真命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)的草圖，從而得出答案．

解答： 解：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=f（x），f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確；
②x＞0時(shí)，f（x）=

4x

x2+1

，f′（x）=

-4x2+4

(x2+1)2

，令f′（x）≤0，解得：x＞1，∴f（x）在[1，+∞）遞減，
x≤0時(shí)，f（x）=

-4x

x2+1

，f′（x）=

4x2-4

(x2+1)2

，令f′（x）≤0，解得：-1≤x≤0，∴f（x）在[-1，0]遞減，
畫(huà)出函數(shù)f（x）的草圖：

∴f（x）分別在區(qū)間[-1，0]和[1，+∞）上單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤；
③f（x）在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極大值，故③錯(cuò)誤；
④由②中的圖象得：④正確；
⑤由②中的圖象得：⑤正確；
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，是一道中檔題．