Question

6．如圖一，在四邊形PEBC中，PC=1，CB=$\sqrt{3}$，∠CPE=$\frac{π}{3}$，∠PCB=$\frac{5π}{6}$，在邊PE上取一點(diǎn)A，使PA=1（PE足夠長(zhǎng)），連結(jié)AC、AB，將△PAC與△EAB分別沿AC和AB折起，使平面PAC⊥平面ABC，且PE∥BC（如圖二）；過(guò)BC作平面交AP、AE分別于點(diǎn)M、N．

（1）求證：MN∥PE；
（2）設(shè)$\frac{AN}{AP}$=λ，求λ 的值，使得平面ABC與平面MNC所成的銳二面角的大小為45°．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理證明BC∥平面APE，可得MN∥PE；
（2）證明∠NCA為二面角N-CB-A的平面角，可得∠NCA=45°．在△NCA中運(yùn)用正弦定理得，$\frac{AN}{AC}$=$\frac{sin45°}{sin75°}$=$\sqrt{3}$-1，即可求λ 的值．

解答 （1）證明：因?yàn)镻E∥CB，BC?平面APE，PE?平面APE，
所以BC∥平面APE  …（3分）
又依題意平面ABC交平面APE于MN，故MN∥BC，所以MN∥PE …（5分）
（2）解：由（1）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC與平面MNC所成的銳二面角即N-CB-A．
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，
所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知∠NCA為二面角N-CB-A的平面角…（11分），
所以∠NCA=45°．
在△NCA中運(yùn)用正弦定理得，$\frac{AN}{AC}$=$\frac{sin45°}{sin75°}$=$\sqrt{3}$-1．
所以，λ=$\frac{AN}{AP}$=$\sqrt{3}$-1．  …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查二面角的平面角，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．