Question

14．已知直線(xiàn)（3-7a+2a²）x-（9-a²）y+3a²=0的傾斜角的正弦為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a的值為（　�。�

• A． $-\frac{2}{3}$或4
• B． 3或$-\frac{2}{3}$
• C． $-\frac{2}{3}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由直線(xiàn)方程求出直線(xiàn)的斜率，再由傾斜角的正弦為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$求出直線(xiàn)的斜率，然后得到關(guān)于a的方程，求解方程后驗(yàn)證得答案．

解答 解：由直線(xiàn)（3-7a+2a²）x-（9-a²）y+3a²=0，得其斜率k=$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$，
設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為α，即tanα=$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$，
由題意sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$α=\frac{π}{4}$或$α=\frac{3π}{4}$，則tanα=$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$=±1，
當(dāng)$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1時(shí)，解得a=3或a=-$\frac{2}{3}$；
當(dāng)$\frac{3-7a+2{a}^{2}}{9-{a}^{2}}$=-1時(shí)，解得a=3或a=4．
經(jīng)檢驗(yàn)a=3時(shí)不合題意，∴a的值為$-\frac{2}{3}$或4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的傾斜角，考查了直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．