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已知x,y∈R,則(x+y)2+(x-
1
y
-1)2的最小值為( 。
分析:由兩點間距離公式,將(x+y)2+(x-
1
y
-1)2看成兩點(x,x-1),(-y,
1
y
)間的距離的平方,第一個點在直線 y=x-1上,第二個點在反比例函數y=-
1
x
的圖象上,故原題轉化為在直線上找一個點,使得它到圖象y=-
1
x
的距離的平方最小值.
解答:解:由兩點間距離公式,將所求看成兩點間的距離的平方,
其中一個點為(x,x-1),另一個點為 (-y,
1
y
),
第一個點在直線 y=x-1上,第二個點在反比例函數y=-
1
x
的圖象上,
轉化為在直線上找一個點,使得它到圖象y=-
1
x
的距離的平方最小,

∵反比例函數y=-
1
x
的圖象關于y=-x對稱,
直線y=x-1也關于y=-x對稱,
觀察l圖象知頂點P(1,-1)到直線y=x-1的距離最短,
最短距離d=
|1+1-1|
2
=
1
2
,
∴(x+y)2+(x-
1
y
-1)2的最小值=(
1
2
)
2
=
1
2

故選B.
點評:本題考查兩點間距離公式的應用和點到直線的距離公式的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意數形結合思想的合理運用.
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