已知F(
1
2
,0)
為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,點N(x0,y0)(y0>0)為其上一點,點M與點N關于x軸對稱,直線l與拋物線交于異于M,N的A,B兩點,且|NF|=
5
2
,kNAkNB=-2

(I)求拋物線方程和N點坐標;
(II)判斷直線l中,是否存在使得△MAB面積最小的直線l',若存在,求出直線l'的方程和△MAB面積的最小值;若不存在,說明理由.
(Ⅰ)由題意
p
2
=
1
2

∴p=1,
所以拋物線方程為y2=2x.
|NF|=x0+
p
2
=
5
2

x0=2,y02=4,
∵y0>0,
∴y0=2,
∴N(2,2).(4分)
(Ⅱ)由題意知直線的斜率不為0,
設直線l的方程為x=ty+b(t∈R)
聯(lián)立方程
y2=2x
x=ty+b
得y2-2ty-2b=0,
設兩個交點A(
y21
2
y1,),B(
y22
2
y2)
(y1≠±2,y2≠±2)
△=4t2 +8b>0
y1+y2=2t
y1y2=-2b
,…(6分)
kPAkPB=
y1-2
y21
2
-2
-
y2-2
y22
2
-2
=
4
(y1+2)(y2+2)
=-2
,
整理得b=2t+3…(8分)
此時△=4(t2+4t+6)>0恒成立,
由此直線l的方程可化為x-3=t(y+2),
從而直線l過定點E(3,-2)…(9分)
因為M(2,-2),
所以M、E所在直線平行x軸
三角形MAB面積S=
1
2
|ME||y1-y2|=
t2+4t+6
=
(t+2 )2+2
,…(11分)
所以當t=-2時S有最小值為
2
,
此時直線l'的方程為x+2y+1=0…(12分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)為二次函數(shù)且二次項系數(shù)大于
1
2
,不等式f(x)<2x的解集為(-1,2),且方程f(x)+
9
4
=0有兩個相等的實根,若α,β是方程f(x)=0的兩個根(α>β),f'(x)是f(x)的導數(shù),設a1=3,an+1=an-
f(an)
f′(an)
(n∈N*)

(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)記bn=lg
an
an
(n∈N*),求數(shù)列{bn}
的前n項和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)為偶函數(shù),在[0,+∞)上為增函數(shù),若f(log2x)>f(1),則x的取值范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F(
1
2
,0)
為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,點N(x0,y0)(y0>0)為其上一點,點M與點N關于x軸對稱,直線l與拋物線交于異于M,N的A,B兩點,且|NF|=
5
2
,kNAkNB=-2

(I)求拋物線方程和N點坐標;
(II)判斷直線l中,是否存在使得△MAB面積最小的直線l',若存在,求出直線l'的方程和△MAB面積的最小值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•蘭州模擬)已知點M是直線x=-
1
2
上的動點,F(
1
2
,0)
為定點,過點M且垂直于直線x=-
1
2
的直線和線段MF的垂直平分線相交于點P.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)經(jīng)過點Q(a,0)(a>0)且與x軸不垂直的直線l與點P的軌跡有兩個不同交點A、B,若在x軸上存在點C,使得△ABC為正三角形,求實數(shù)a的取值范圍.

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