已知F(
1
2
，0)為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，點N（x0，y0）（y0＞0）為其上一點，點M與點N關于x軸對稱，直線l與拋物線交于異于M，N的A，B兩點，且|NF|=
5
2
，kNA•kNB=-2．
（I）求拋物線方程和N點坐標；
（II）判斷直線l中，是否存在使得△MAB面積最小的直線l'，若存在，求出直線l'的方程和△MAB面積的最小值；若不存在，說明理由．
（Ⅰ）由題意
p
2
=
1
2
，
∴p=1，
所以拋物線方程為y2=2x．
|NF|=x0+
p
2
=
5
2
，
x0=2，y02=4，
∵y0＞0，
∴y0=2，
∴N（2，2）．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線的斜率不為0，
設直線l的方程為x=ty+b（t∈R）
聯(lián)立方程
y2=2x
x=ty+b
得y2-2ty-2b=0，
設兩個交點A(
y21
2
y1，)，B(
y22
2
，y2)（y1≠±2，y2≠±2）
∴
△=4t2 +8b＞0
y1+y2=2t
y1y2=-2b
，…（6分）
kPA•kPB=
y1-2
y21
2
-2
-
y2-2
y22
2
-2
=
4
(y1+2)(y2+2)
=-2，
整理得b=2t+3…（8分）
此時△=4（t2+4t+6）＞0恒成立，
由此直線l的方程可化為x-3=t（y+2），
從而直線l過定點E（3，-2）…（9分）
因為M（2，-2），
所以M、E所在直線平行x軸
三角形MAB面積S=
1
2
|ME||y1-y2|=
t2+4t+6
=
(t+2 )2+2
，…（11分）
所以當t=-2時S有最小值為
2
，
此時直線l'的方程為x+2y+1=0…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）為二次函數(shù)且二次項系數(shù)大于
1
2
，不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2），且方程f（x）+
9
4
=0有兩個相等的實根，若α，β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β），f'（x）是f（x）的導數(shù)，設a1=3，an+1=an-
f(an)
f′(an)
(n∈N*)．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）記bn=lg
an-β
an-α
(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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已知f（x）為偶函數(shù)，在[0，+∞）上為增函數(shù)，若f（log2x）＞f（1），則x的取值范圍為（　�。�

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1
2
，0)為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，點N（x0，y0）（y0＞0）為其上一點，點M與點N關于x軸對稱，直線l與拋物線交于異于M，N的A，B兩點，且|NF|=
5
2
，kNA•kNB=-2．
（I）求拋物線方程和N點坐標；
（II）判斷直線l中，是否存在使得△MAB面積最小的直線l'，若存在，求出直線l'的方程和△MAB面積的最小值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蘭州模擬）已知點M是直線x=-
1
2
上的動點，F(
1
2
，0)為定點，過點M且垂直于直線x=-
1
2
的直線和線段MF的垂直平分線相交于點P．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）經(jīng)過點Q（a，0）（a＞0）且與x軸不垂直的直線l與點P的軌跡有兩個不同交點A、B，若在x軸上存在點C，使得△ABC為正三角形，求實數(shù)a的取值范圍．

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