Question

已知F(

1

2

，0)為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)N（x₀，y₀）（y₀＞0）為其上一點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，直線l與拋物線交于異于M，N的A，B兩點(diǎn)，且|NF|=

5

2

，kNA•kNB=-2．
（I）求拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）判斷直線l中，是否存在使得△MAB面積最小的直線l'，若存在，求出直線l'的方程和△MAB面積的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知：p=1，x₀=2，y₀²=4，y₀＞0，得y₀=2，由此能求出拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)．
（Ⅱ）由題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=ty+b（t∈R），聯(lián)立方程

y2=2x x=ty+b

得y²-2ty-2b=0，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)A(

y 2 1

2

y1，)，B(

y 2 2

2

，y2)，由kPA•kPB=

y1-2

y 2 1 2 -2

-

y2-2

y 2 2 2 -2

=

4

(y1+2)(y2+2)

=-2，得b=2t+3，由此能求出當(dāng)t=-2時(shí)S有最小值為

2

，此時(shí)直線l'的方程為x+2y+1=0．

解答：解：（Ⅰ）由題意

p

2

=

1

2

，
∴p=1，
所以拋物線方程為y²=2x．
|NF|=x0+

p

2

=

5

2

，
x₀=2，y₀²=4，
∵y₀＞0，
∴y₀=2，
∴N（2，2）．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線的斜率不為0，
設(shè)直線l的方程為x=ty+b（t∈R）
聯(lián)立方程

y2=2x x=ty+b

得y²-2ty-2b=0，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)A(

y 2 1

2

y1，)，B(

y 2 2

2

，y2)（y₁≠±2，y₂≠±2）
∴

△=4t2 +8b＞0 y1+y2=2t y1y2=-2b

，…（6分）
kPA•kPB=

y1-2

y 2 1 2 -2

-

y2-2

y 2 2 2 -2

=

4

(y1+2)(y2+2)

=-2，
整理得b=2t+3…（8分）
此時(shí)△=4（t²+4t+6）＞0恒成立，
由此直線l的方程可化為x-3=t（y+2），
從而直線l過定點(diǎn)E（3，-2）…（9分）
因?yàn)镸（2，-2），
所以M、E所在直線平行x軸
三角形MAB面積S=

1

2

|ME||y1-y2|=

t2+4t+6

=

(t+2 )2+2

，…（11分）
所以當(dāng)t=-2時(shí)S有最小值為

2

，
此時(shí)直線l'的方程為x+2y+1=0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．