Question

19．若函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-2，1]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)$g（x）=（1-4m）\sqrt{x}$在[0，+∞）上是減函數(shù)，則a的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)$g（x）=（1-4m）\sqrt{x}$在[0，+∞）上是減函數(shù)，確定m的范圍，函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-2，1]上的最大值為4，最小值為m，討論底數(shù)a，求最值，求出滿足題意的a的值．

解答 解：由題意，函數(shù)$g（x）=（1-4m）\sqrt{x}$在[0，+∞）上是減函數(shù)，
則1-4m＜0，
∴m＞$\frac{1}{4}$
又∵函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-2，1]上的最大值為4，最小值為m，
當a＞1時，f（x）是增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{-2}=m}\\{a=4}\end{array}\right.$，可得m=$\frac{1}{16}$，不滿足題意．
當1＞a＞0時，f（x）是減函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{-2}=4}\\{a=m}\end{array}\right.$，可得m=a=$\frac{1}{2}$，滿足題意．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論和運用．屬于基礎(chǔ)題．