Question

已知f（x）=2ax-

b

x

+lnx在x=-1，x=

1

2

處取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）x∈[

1

4

，4]時，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，由極值得，f′（-1）=0，f′（

1

2

）=0，解出a，b即可；
（Ⅱ）求出導數(shù)，并分解成

1

x2

（2x-1）（x+1），求出單調區(qū)間，求出極值，判斷也為最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax-

b

x

+lnx，
∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
∵f（x）在x=-1與x=

1

2

處取得極值，
∴f′（-1）=0，f′（

1

2

）=0，
即2a+b-1=0且2a+4b+2=0解得a=1，b=-1
∴所求a、b的值分別為1、-1．
（Ⅱ）由（1）得f′（x）=2-

1

x2

+

1

x

=

1

x2

（2x²+x-1）
=

1

x2

（2x-1）（x+1）．
∴當x∈[

1

4

，

1

2

]時，f′（x）＜0；當x∈[

1

2

，4]時，f′（x）＞0，
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，4]上的極小值．
又∵只有一個極小值，
∴f（x）_min=f（

1

2

）=3-ln2．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求極值和最值，注意運用在某個區(qū)間內(nèi)只有一個極值，一定為最值，本題屬于中檔題．