Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得bx²-2d=0恒成立，從而f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，由題意得3a+c=0，且a+c=-

2

3

，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

，令f′（x）=0，得x=±1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）+|f（x₂）|≤

2

3

+

2

3

=

4

3

．
（Ⅲ）假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，由f′（x）=x²-1，知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1=x12-1，k2=x22-1，且(x12-1)(x22-1)=-1，由已知條件推導(dǎo)出(x12-1)(x22-1)≥0，矛盾，故假設(shè)不成立．由此得到圖象上不存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直

解答： （Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立，
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，…（2分）
∵x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

，∴3a+c=0，且a+c=-

2

3

，
解得a=

1

3

，c=-1．
（Ⅱ）證明：∵x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

，令f′（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1），或x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，且f(x)max=f(-1)=

2

3

，f(x)min=f(1)=-

2

3

，
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤

2

3

，
于是x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

2

3

+

2

3

=

4

3

．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）解：當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立．
假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則由f′（x）=x²-1，知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1=x12-1，k2=x22-1，
且(x12-1)(x22-1)=-1，（*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴x12-1≤0，x22-1≤0，
∴(x12-1)(x22-1)≥0，
此與（*）相矛盾，故假設(shè)不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．