Question

16．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，點E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點．
（Ⅰ）證明：DF∥平面PBE
（Ⅱ）求點F到平面PBE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB的中點G，連接EG、FG，由已知結(jié)合三角形中位線定理可得DE∥FG且DE=FG，得四邊形DEGF為平行四邊形，從而可得DF∥EG，再由線面平行的判定可得DF∥平面PBE；
（Ⅱ）利用等積法可得：V_D-PBE=V_P-BDE，代入棱錐體積公式可得點F到平面PBE的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取PB的中點G，連接EG、FG，則FG∥BC，且FG=$\frac{1}{2}BC$．
∵DE∥BC且DE=$\frac{1}{2}$BC，∴DE∥FG且DE=FG，
∴四邊形DEGF為平行四邊形，
∴DF∥EG，又EG?平面PBE，DF?平面PBE，
∴DF∥平面PBE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DF∥平面PBE，
∴點D到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離相等，
故轉(zhuǎn)化為求D到平面PBE的距離，設(shè)為d，
利用等體積法：V_D-PBE=V_P-BDE，即$\frac{1}{3}{S}_{△PBE}•d=\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•PD$．
${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}•DE•AB=1$，
∵$PE=BE=\sqrt{5}$，$PB=2\sqrt{3}$，∴${S}_{△PBE}=\sqrt{6}$．
∴d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．