Question

5．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓與另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的設(shè)影恰好為右焦點(diǎn)F，若0＜k＜$\frac{1}{3}$，則橢圓的離心率的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，1）．

Answer 1

分析 先作出圖形，則易知|AF₂|=a+c，|BF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，再由∠BAF₂是直線的傾斜角，易得k=tan∠BAF₂=$\frac{a-c}{a}$，由k的范圍，結(jié)合離心率公式化簡求解．

解答 解：如圖所示：|AF₂|=a+c，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
即有|BF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
∴k=tan∠BAF₂=$\frac{|B{F}_{2}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{a-c}{a}$，
又∵0＜k＜$\frac{1}{3}$，
∴0＜$\frac{a-c}{a}$＜$\frac{1}{3}$，
∴0＜1-e＜$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜e＜1，
故答案為：（$\frac{2}{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系及橢圓的幾何性質(zhì)和直線的斜率與傾斜角，屬于中檔題．