Question

16．直線y=a分別與曲線y=2（x-1），y=x+e^x交于A，B，則|AB|的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，a），B（x₂，a），則2（x₁-1）=x₂+${e}^{{x}_{2}}$，表示出x₁，求出|AB|，利用導(dǎo)數(shù)求出|AB|的最小值．

解答 解：設(shè)A（x₁，a），B（x₂，a），
則2（x₁-1）=x₂+${e}^{{x}_{2}}$，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+${e}^{{x}_{2}}$）+1，
∴|AB|=|x₂-x₁|=|$\frac{1}{2}$（x₂-${e}^{{x}_{2}}$）-1|，
令y=$\frac{1}{2}$（x-e^x）-1，
則y′=$\frac{1}{2}$（1-e^x），
∴函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴x=0時，函數(shù)y的最大值為-$\frac{3}{2}$，
即有|AB|的最小值為$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．